Die Übersichtlichkeit der Seite wird durch Javascript erhöht. Ist dies aktiviert, werden die Texte unter den Überschriften durch Anklicken der Überschriften ein- und ausgeblendet.
Mit Hilfe der binomischen Formel kann man das Quadrat zweier Strecken ermitteln:
(a+b)² = (a+b)*(a+b) = a*(a+b)+ b*(a+b) a*(a+b)= a*a+ab b*(a+b)= b*a+b*b ************************** a(a+b)= a² + ab +b(a+b)= ab + b² --------------------- =(a+b)²= a² + 2ab + b²
Somit lautet die binomische Formel:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Möchte man nicht das Quadrat sondern den Quader über 2 Strecken a und b ermitteln, so ergibt sich als Potenz die 3. Diese lässt sich aus der 2. Potenz ermitteln, indem sie mit einer weiteren Dimension multipliziert wird:
(a+b)³ = (a+b)(a+b)² = a(a+b)² + b(a+b)²
Gemäß der binomischen Formel wissen wir:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Entsprechend gilt für a(a+b)²:
a(a+b)²= a*a² + a*2ab + a*b² a(a+b)²= a³ + 2a²b + ab²
für b(a+b)²
b(a+b)²= b*a² + b*2ab + b*b² b(a+b)²= a²b + 2ab² + b³
entsprechend gilt für a(a+b)² + b(a+b)²
a(a+b)² = a³ + 2a²b + ab² + b(a+b)² = a²b + 2ab² + b³ ---------------------------------- = (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Somit gilt für die 3 Dimension:
(a+b)³ = a³ + 3a²ba +3ab² +b³
Auch hierwird die 3. Dimension einfach mit einer weiteren Dimension multipliziert:
(a+b)⁴ = (a+b)(a+b)³ = a(a+b)³ + b(a+b)³ (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ a(a+b)³ = a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ +b(a+b)³ = a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴ ---------------------------------------- = (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ ========================================
Somit gilt für die 4. Dimension:
(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a+b)⁵ = (a+b)(a+b)⁴= a(a+b)⁴+b(a+b)⁴ (a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴ a(a+b)⁴ = a⁵ + 4a⁴b + 6a³b² + 4a²b³ + ab⁴ +b(a+b)⁴ = a⁴b + 4a³b² + 6a²b³ + 4ab⁴ + b⁵ ------------------------------------------------ =(a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b +10a³b² +10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ ================================================
Somit gilt für die 5. Dimension:
(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
(a+b)⁶ = (a+b)(a+b)⁵= a(a+b)⁵+b(a+b)⁵ (a+b)⁵= a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵ a(a+b)⁵ = a⁶+5a⁵b+10a⁴b²+10a³b³+ 5a²b⁴+ ab⁵ +b(a+b)⁵ = a⁵b+ 5a⁴b²+10a³b³+10a²b⁴+5ab⁵+b⁶ ----------------------------------------------- = (a+b)⁶ = a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶ ===============================================
Somit gilt für die 6. Dimension:
(a+b)⁶ = a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶
Schreibt man die Dimensionen untereinder, ergibt sich folgende Pyramide:
(a+b)⁰ = 1
(a+b)¹ = 1a + 1b
(a+b)² = 1a² + 2ab + 1b²
(a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³
(a+b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴
(a+b)⁵ = 1a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + 1b⁵
(a+b)⁶ = 1a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + 1b⁶
Betrachtet man nun jeweils die Faktoren, so ergibt sich jeweils der Faktor aus der Summe der beiden Faktoren aus der darüber liegenden Zeile. Beispiele:
Wenn dies gilt, lassen sich die Faktoren wie folgt berechnen:
Der Faktor ergibt sich aus einen Bruch. Der Zähler besteht aus den Faktoren 1 bis Stellenzahl des Summanden in der Gleichung, wobei bei 0 angefangen wird zu zählen. Der Zähler besteht aus den Faktoren von der Dimension beginned jeweils um 1 reduziert in der gleichen Anzahl wie im Nenner. Beispiele:
faktor(uint pos)
{
uint zaehler{1};
uint nenner{1};
// Überschneidungen der Faktoren
// in Zähler und Nenner vermeiden:
if (pos > dimension-pos)
{
pos = dimension-pos;
}
for ( uint i = 0; i < pos; ++i)
{
zaehler *= (dimension-i);
nenner *= (1+i);
}
return zaehler/nenner;
}
Die Zusammensetzung der Binomischen Formel
Da wir die Faktoren berechnen können, lässt sich die eigentliche Formel leicht erstellen. Die Anzahl der Summanden/Stellen entspricht der Potenzzahl+1. Wobei in den Stellen von vorn nach hinten bzw links nach rechts die Potenz von a jeweils um eins veringert und die Potenz von b jeweils um eins erhöht wird.
mkBinomischeFormel(dimension)
{
uint stelle=0;
formel="(a+b)^" + std::to_string(dimension);
formel+=" = ";
if (dimension)
{
while (stelle < dimension+1)
{
uint a_potenz= dimension-stelle;
uint b_potenz= stelle;
formel += std::to_string
(
faktor(stelle)
);
if (a_potenz)
{
formel += "a";
}
if (a_potenz>1)
{
formel += "^" + std::to_string(a_potenz);
}
if (b_potenz)
{
formel += "b";
}
if (b_potenz>1)
{
formel += "^" + std::to_string(b_potenz);
}
if (a_potenz)
{
formel+= " + ";
}
++stelle;
}
}else
{
formel+= std::to_string(1);
}
}
Betrachtet man die Zusammensaetzung des Pascallschen Dreiecks, so kann mann die binomische Formel allgemein wie folgt schreiben:
(a+b)^n = a^n + na^n-1b
+ n(n-1)/1*2 a^n-2 b²
+ n(n-1)(n-2)/1*2*3 a^n-3 b³
+ n(n-1)(n-2)(n-3)/1*2*3*4 a^n-4 b⁴
+...
Setzt man nun in die binomische Formel für a den Wert 1 und für b den Wert x, so vereinfacht sich die Formel, da 1^n immer 1 ergibt:
(1+x)^n = 1 + nx
+ n(n-1)/1*2 x²
+ n(n-1)(n-2)/1*2*3 x³
+ n(n-1)(n-2)(n-3)/1*2*3*4 x⁴
+ ...